如何應(yīng)對(duì)二次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)壓軸題

2024中考已經(jīng)過(guò)去，很多同學(xué)反應(yīng)題目相對(duì)前幾年，難度有所提升。其實(shí)從近幾年的高考數(shù)學(xué)出題走勢(shì)已經(jīng)可以看出端倪，高考是教育的指揮棒，當(dāng)高考試卷的構(gòu)成出現(xiàn)變化時(shí)，中考試卷會(huì)多少受一些影響。二次函數(shù)作為初中階段學(xué)習(xí)的三大函數(shù)類型之一，具有綜合性強(qiáng)、難度高的特點(diǎn)，要求同學(xué)們具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，才能把題目解得完整，很受出題老師的青睞，常常會(huì)在試卷的壓軸題中有所展現(xiàn)。

二次函數(shù)的中考?jí)狠S題通常是指在數(shù)學(xué)考試中難度較大、綜合性較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多的題目。這類題目往往要求學(xué)生具備扎實(shí)的二次函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)能夠靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想和方法解決問(wèn)題。二次函數(shù)壓軸題常見(jiàn)的類型包括但不限于以下幾種：

1.函數(shù)圖像與性質(zhì)：考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像的平移、對(duì)稱、開(kāi)口方向、頂點(diǎn)等性質(zhì)的理解和應(yīng)用。

2.函數(shù)與方程：涉及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，如求解二次函數(shù)的零點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)等。

3.函數(shù)與不等式：解決與二次函數(shù)相關(guān)的不等式問(wèn)題，如求解不等式組、函數(shù)值域、最值問(wèn)題等。

4.函數(shù)與幾何：將二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合，如求解拋物線與直線、圓等圖形的交點(diǎn)，以及利用二次函數(shù)解決幾何最優(yōu)化問(wèn)題。

5.函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題：將二次函數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，如物理運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等，考查學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

6.函數(shù)與綜合題：結(jié)合二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)（如代數(shù)、幾何、三角等）的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合解題能力。

7.函數(shù)與創(chuàng)新題：設(shè)計(jì)新穎的題目，考查學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題的能力。

下面是一道2024年蘇州中考數(shù)學(xué)的有關(guān)二次函數(shù)壓軸題目，就很有代表性：

如圖①，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象C1與開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象C2均過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求圖象C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若圖象C2過(guò)點(diǎn)C（0，6），點(diǎn)P位于第一象限，且在圖象C2上，直線l過(guò)點(diǎn)P且與x軸平行，與圖象C2的另一個(gè)交點(diǎn)為Q（Q在P左側(cè)），直線l與圖象C1的交點(diǎn)為M，N（N在M左側(cè)）．當(dāng)PQ＝MP+QN時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AD，交圖象C2于點(diǎn)F，連接EF，當(dāng)EF∥AD時(shí)，求圖象C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

【分析】（1）將A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c解方程組即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），將點(diǎn)C（0，6）代入得，a＝﹣2．求得C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2（x+1）6x+3），對(duì)稱軸為直線x＝1．作直線x＝1，交直線l于點(diǎn)H（如答圖①）由二次函數(shù)的對(duì)稱性得到QH＝PH，PM＝NQ，求得PH＝PM．設(shè)PH＝t（0＜l＜2），則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t+1，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2t+1，解方程即可得到結(jié)論；

（3）連接DE，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FI⊥ED于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作FJ⊥x軸于點(diǎn)J，（如答圖②），根據(jù)矩形 到現(xiàn)在得到IF＝GJ，IG＝FJ，設(shè)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），求得D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．得到tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，設(shè)GJ＝m（0＜m＜2），則AJ＝2+m，求得FJ＝，F（m+1，），解方程組得到m1＝0（舍去），m2＝，求得a＝﹣，于是得到結(jié)論．

【解答】解：（1）將A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c得，

解得，

∴圖象C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），將點(diǎn)C（0，6）代入得，a＝﹣2．

∴C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣2（x+1）6x+3），其對(duì)稱軸為直線x＝1．

又∵圖象C1的對(duì)稱軸也為直線x＝1．

作直線x＝1，交直線l于點(diǎn)H（如答圖①）

由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，QH＝PH，PM＝NQ，

又∵PQ＝MP+QM，

∴PH＝PM．

設(shè)PH＝t（0＜l＜2），則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t+1，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2t+1，

將x＝t+1代入y＝﹣2（x+1）（x﹣3），得yP＝﹣2（t+2）（t﹣2），

將x＝2t+1代入y＝（x+1）（x﹣3），得yM＝（2t+2）（2t﹣2），

∵yP＝yM，

∴﹣2（t+2）（t﹣2）＝（2t+2）（2t﹣2），

即6t2＝12，解得，（舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（+1，4）；

（3）連接DE，交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FI⊥ED于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作FJ⊥x軸于點(diǎn)J，（如答圖②），

∵FI⊥ED，FJ⊥x軸，

∴四邊形IGJF為矩形，

∴IF＝GJ，IG＝FJ，

設(shè)C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），

∵點(diǎn)D，E分別為二次函數(shù)圖象C1，C2的頂點(diǎn)，

∴D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．

∴DG＝4，AG＝2，EG＝﹣4a，

在Rt△AGD中，，

∵AF⊥AD，

∴∠FAB+∠DAB＝90°，

又∵∠DAG+∠ADG＝90°，

∴∠ADG＝∠FAB，

∴tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，

設(shè)GJ＝m（0＜m＜2），則AJ＝2+m，

∴FJ＝，F（m+1，），

∵EF∥AD，

∴∠FEl＝∠ADG，

∴tan∠FEl＝tan∠ADG＝＝，

∴EI＝2m，

∵EG＝EI+IG，

∴，

∴①，

∵點(diǎn)F在C2上，a（m+1+1）（m+1﹣3）＝，

即a（m+2）（m﹣2）＝，

∵m+2≠0，

∴a（m﹣2）＝②，

由①，②可得，

解得m1＝0（舍去），m2＝，

∴a＝﹣，

∴圖象C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．

解決二次函數(shù)壓軸題時(shí)，學(xué)生需要做到以下幾點(diǎn)：

熟練掌握二次函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖像特征。

能夠靈活運(yùn)用代數(shù)變換、因式分解、配方法等數(shù)學(xué)工具。

善于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決。

注意審題，準(zhǔn)確把握題目的要求和條件。

培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣，如合理安排解題步驟、注意解題過(guò)程的邏輯性和完整性。

通過(guò)大量練習(xí)和總結(jié)，學(xué)生可以提高解決二次函數(shù)壓軸題的能力。同時(shí)，教師在教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生深入理解二次函數(shù)的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。